Garantie bei einem KFZ (Teilung der Reparaturarbeiten auf zwei Werkstätten möglich?)

[Taratita]

Frau F. fährt ein recht neues KFZ, sie hat noch Werksgarantie.
Bei diesem winterlichen Schmuddelwetter funktioniert plötzlich die Scheibenwischerspritzanlage nicht mehr.
Frau F. kontaktiert den Händler im Ort, wartet auf einen Termin, wartet während der Diagnose, wird dann vertröstet, da ein Ersatzteil (Pumpe) bestellt werden muss. Am nächsten Tag kann die Reparatur noch immer nicht stattfinden, da das Ersatzteil nicht gekommen ist. Am nächsten Tag hat die Werkstatt Inventur, Frau F. wird über das Wochenende vertröstet.
Sie ist mitlerweile mit einem Glasreiniger unterwegs!
Frau F. kontakiert eine 2. Werkstatt, die das Ersatzteil am nächsten Morgen einbaut.
Nun schickt die 1. Werkstatt Frau F. eine - wenn auch geringe - Rechnung über 20 Euro für die Diagnose des Fehlers.
Aber Frau F. hat doch Garantie?
Der verärgerte Werkstattleiter behauptet, die Rechnung nur als Garantie abrechnen zu können, wenn er auch die Reparatur vornimmt.
Der Werkstattleiter der 2. Werkstatt meint, das sei Quatsch.
Wer hat Recht?
Wie soll sich Frau F. jetzt verhalten?