Haftpflicht - wie weit geht die Kostendeckung für Anwalt?

[nouvaleur]

hallo & gruss
ich bin durch die Veranlassung eines städtischen Unternehmens in einem Unfall (Fahrradsturz) zu Schaden gekommen. doppelter Knöchelbruch, OP, Krankenhaus, etc. so weit, so schlecht.
jetzt wird mir die Versicherung ein Schmerzensgeldangebot machen, in der Regel zu niedrig. Ich habe wohl Anspruch auf einen Anwalt, dessen Kosten die Versicherung übernehmen muss??
Fragt sich nur: wie weit geht das, also die Kostenübernahme, bzw. Deckung?
speziell: müssen die auch die Kosten für eine Prozessführung gegen sie selbst tragen? Und angenommen, ich unterliege teilweise. bleiben dann Kosten an mir hängen, z.b. für die gegnerische Anwaltschaft?
also die Frage: wo verläuft die Grenze in einem solchen Verfahren, an der ich selbst kostenmässig betroffen werde?
danke für Tipps
N.