Ist die Beistandschaft verpflichtet eine mögliche Arbeitsaufnahme zu prüfen?

[Angelito]

Folgender fiktiver Fall:
Eine Mutter hat eine Beistandschaft beim Jugendamt und erhält Unterhaltsvorschuss, da der Vater HartzIV Empfänger ist. Nun erzählt der Vater Dritten, dass er mittlerweile arbeiten würde und Geld verdienen. Die Mutter meldet dies der Beistandschaft (muss sie ja auch, wegen des Unterhaltsvorschuss).

Ist der Beistand verpflichtet diese Arbeitsaufnahme zu überprüfen? Muss er das in einem bestimmten zeitlichen Rahmen machen? Mit jedem Monat den es länger dauert, geht ja ein Monat Unterhalt flöten