Ich glaube kaum, dass es da einen Unterschied zwischen Österreich und Deutschland gibt. Das dürfte wohl in allen Schengen Staaten gleich geregelt sein. Sollte dies nicht so sein, dann wird bestimmt noch jemand korrigierend eingreifen. Für Deutschland, und somit aller Wahrscheinlichkeit nach auch für Österreich, gilt folgendes:
Die Verpflichtungserklärung kann selbstverständlich nicht zurück genommen werden. Hiermit hat sich der Einladende ja verpflichtet, bis zur tatsächlichen Ausreise seines Gastes, also unter Umständen auch deutlich über die Gültigkeit des Visums hinaus, sämtliche Kosten zu übernehmen, die der Gast innerhalb der Schengen Staaten verursacht und für die dieser nicht selbst aufkommen kann. Damit erwirbt der Einladende aber natürlich nicht das Recht, über seinen Gast in irgend einer Weise zu verfügen. Der kann während der Gültigkeit seines Visums innerhalb der Schengen Staaten beliebig umher reisen und sich aufhalten, wo er möchte.
Geht ein Pass verloren, dann zeigt man das bei der Polizei an, bekommt dort eine entsprechende Bestätigung und erhält damit in aller Regel bei der Botschaft seines Heimatlandes ein Ersatzdokument. Die Vorgehensweise bei den Botschaften ist allerdings von Land zu Land unterschiedlich.
Du kannst deinen Gast nicht zwingen, bei dir zu bleiben und ein verlorener Pass kann in aller Regel auch relativ einfach wiederbeschafft werden. Du haftest ferner bis zur tatsächlichen Abreise deines Gastes für alle durch diesen verursachten Kosten. Aber das weiß man doch, bevor man eine solche Erklärung unterschreibt.