Aufgrund einer Vaterschaftsanerkenntnis für ein deutsches Kind kriegt meines Wissens niemand automatisch eine
Aufenthaltserlaubnis. Wahrscheinlicher halte ich die Variante, dass ihr eine Sorgerechtserklärung abgegeben habt, wonach ihr euch das
Sorgerecht teilt. Oder du hast erklärt, dass er faktisch das Kind betreut und erzieht.
In einem solchen Fall verhält es sich meist so:
Wenn Der deutsche Elternteil bewerkstelligen kann, dass der ausländische Elternteil dauerhaft nicht mehr die Erziehung oder
Betreuung übernehmen (darf), dann entfällt ja der Grund für die Aufenthaltserlaubniserteilung. Diese würde also zumndest nicht mehr verlängert. Ggf. könnte sie auch - Lektüre des Aufenthaltsgesetzes vonnöten - widerrufen werden.
Ohne Sorgeerklärung muss man einfach nur die entsprechenden Tatsachen schaffen und dokumentieren. Mit Sorgeerklärung hat der ausländische Vater auch das Recht dazu, die Sorge auszuüben. Dann bedarf es der - von einer Kindeswohlprüfung abhängigen - Entziehung des Sorgerechts durch das
Familiengericht.
Was das in deinem Fall heisst, müsste ein am besten auf
Familienrecht oder Ausländerrecht spezialisierter Anwalt beantworten. Die sind gar nicht so teuer wie man denkt und die Investition lohnt sich. Der kann halt auch einschätzen aufgrund der konkreten Umstände, ob es überhaupt sinnvoll ist, zum Familiengericht zu gehen.